nietdifferentieerbaar

Nietdifferentieerbaar is een term uit de wiskunde die aangeeft dat een functie niet differentieerbaar is op een bepaald punt, of op een verzameling punten. Een functie f gedefinieerd op een open interval is nietdifferentieerbaar bij een punt a als de afgeleide f'(a) niet bestaat. In formelere bewoording: f is nietdifferentieerbaar bij a wanneer de limiet van (f(a+h) - f(a)) / h bij h → 0 niet bestaat of oneindig is.

Enkele bekende voorbeelden illustreren het idee. De functie f(x) = |x| is nietdifferentieerbaar bij x = 0 omdat de linker- en rechterhelling different zijn. De functie f(x) = x^(1/3) is ook nietdifferentieerbaar bij x = 0, terwijl ze elders wel differentieerbaar is. Een opmerkelijk voorbeeld uit de analyse is de Weierstrass-functie, die continu is maar op geen enkel punt differentieerbaar is.

Oorzaken van niet-differentieerbaarheid zijn onder meer scherpe hoeken of cusps in de grafiek (zoals bij |x|), verticale raaklijnen, en sterke oscillerende patronen die zich steeds sneller voordoen nabij het punt. In meer variabele ruimtes betekent differentiability een lineaire benadering: f is differentiable bij een punt als er een lineaire afbeelding bestaat die de functie lokaal goed benadert. In het algemeen betekenen bestaande partiële afgeleiden niet per se differentiability; differentiability vereist een consistente lineaire benadering.

Wiskundige resultaten zoals de stelling van Rademacher tonen aan dat Lipschitz-functies (beperkt groeibaar) in het vlakDifferentiable almost everywhere. Niet-differentieerbaarheid heeft toepassingen in optimalisatie (subgradienten en convex analyse) en in de studie van functies met complexe lokale gedrag.