nabijheidsrelaties

Nabijheidsrelaties, ook wel proximiteit genoemd, vormen een manier om nabijheid tussen verzamelingen te modelleren zonder gebruik te maken van een metriek. Gezien een grondset X en de verzameling P(X) van alle subsets daarvan, is een nabijheidsrelatie δ een relatie tussen paren van subsets die aangeeft wanneer twee verzamelingen als “nabij” worden gezien.

Een typische structuur kent axioma’s die het nabijheidsgevoel formaliseren. Doorgaans is δ symmetrisch, en geldt: A δ B impliceert dat A en B niet leem zijn; als A en B elkaar snijden, dan zijn ze nabij (A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A δ B). Daarnaast is er een monotoniciteitsregel: als A δ B, dan ook A ∪ C δ B ∪ C voor elke C ⊆ X, en soortgelijke uitspraken met toevoeging van meerdere verzamelingen. In veel definities is het nabije-zijn een concept dat de intuïtie van ‘dicht bij elkaar liggen’ vastlegt en daardoor algemeen toepasbaar is in meerdere contexten.

Relatie tot metrische ruimten en topologie: in een metriek ruimt X definieert men A δ B meestal als de afstand tussen A en B gelijk aan nul, oftewel d(A,B)=0, hetgeen equivalenter is met de eigenschap dat de verzamelingen naar elkaar toe kunnen naderen. Proximity’s leiden bovendien tot een topologie op X: uit δ kan men een gesloten- en open-verzamelingstructuur afleiden, en zij faciliteren de studie van convergentie van filters en van compacte- en voltooiingsconcepten zonder beroep te doen op een metriek.

Voorbeelden: in R met de gebruikelijke metriek geldt A δ B als de afstand tussen A en B nul is; bijvoorbeeld [0,1] δ [1,2] is nabij omdat ze elkaar op 1 raken. Als twee verzamelingen gescheiden zijn door een positieve afstand, zijn ze niet nabij.

Zie ook: nabijheidsruimte, proximiteit, Efremovič nabijheid.