nabijheidsruimte

Nabijheidsruimte is een wiskundige structuur in de topologie die een set X samen met voor elk punt x in X een verzameling N(x) van subsets van X voorschrijft, genoemd de buurten of nabijheidsverzamelingen van x. Het idee is dat de nabijheid rond een punt kan worden beschreven zonder expliciet gebruik te maken van open verzamelingen.

Een nabijheidsruimte (X, N) vereist voor elke x ∈ X een niet-lege collectie N(x) van subsets van X die voldoet aan bepaalde axioma’s. Eerst moeten alle buurten van x het punt x bevatten: elke N ∈ N(x) bevat x. Verder is N(x) vanwege de intuïtie van buurten opgehoogd: als N ∈ N(x) en N ⊆ M, dan M ∈ N(x). De collectie N(x) is gesloten onder snittingen van twee buurten: als N1, N2 ∈ N(x) dan N1 ∩ N2 ∈ N(x). Tot slot bevat elk N ∈ N(x) een onderverzameling M ∈ N(x) met x ∈ M ⊆ N en zodanig dat voor elk y ∈ M ook N ∈ N(y). Deze coherentieconditie waarborgt dat buurten lokaal consistent zijn.

Convergentie en continuïteit kunnen worden gedefinieerd via buurten: een filter F op X convergeert naar x als elke buurt N ∈ N(x) ook in F zit. Een functie f: X → Y tussen nabijheidsruimten is continu indien voor elk x en elke N ∈ N(x) er een N' ∈ N(f(x)) bestaat met f[N] ⊆ N'.

Relatie met topologische ruimten: elke topologische ruimte levert een nabijheidsruimte op door N(x) te definiëren als alle subsets die een nabrandend open set bevatten. Omgekeerd kan uit een nabijheidsruimte een stijlvol topolog systeem worden afgeleid door te bepalen welke verzamelingen open zijn.

Nabijheidsruimten dienen als een meer algemene formaliteit voor converge en continuïteit en vormen een brug tussen traditionele topologie en bredere converge-richtingen. Zie ook topologische ruimte, buurt, convergentie en pretopologie.