momentgenerierende

Momentgenererende functie

De momentgenererende functie (MGF) van een toevalsvariabele X is een functie M_X(t) gedefinieerd als M_X(t) = E[e^{tX}] voor alle t in een open interval rondom 0 waarvoor de verwachting eindig is. De MGF is een wiskundig instrument om momenten van X af te leiden: de n-de moment E[X^n] kan worden verkregen door de n-de afgeleide van M_X(t) te evalueren op t = 0, mede: E[X^n] = M_X^{(n)}(0).

Eigenschappen en interpretatie

Belangrijke eigenschappen: M_X(0) = 1 en M_X is meestal analytisch in een juiste regio rond 0. Als X en Y onafhankelijk zijn, geldt M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t). Schalen: voor een constante a geldt M_{aX}(t) = M_X(at). Voor de som van onafhankelijke variabelen kan de MGF dus worden gebruikt om de verdeling van de som uit de MGFs af te leiden.

Relaties en voorbeelden

De MGF is ook gerelateerd aan de cumulantgenererende functie K(t) = log M_X(t); de afgeleiden van K bij t = 0 leveren de cumulanten. De karakteristieke functie φ_X(t) geldt als φ_X(t) = M_X(i t). Voor de normale verdeling N(μ, σ^2) is M_X(t) bijvoorbeeld exp(μ t + (σ^2 t^2)/2). Er bestaan echter verdelingen waarvoor de MGF niet bestaat voor alle t (bijv. Cauchy-verdeling).

Beperkingen en toepassingen

MGF’s bestaan niet altijd; wanneer ze wel bestaan, kunnen ze worden gebruikt om momenten te berekenen, de verdelingsmomenten van sommen te afleiden en methoden van momentenanalyse toe te passen. Ze spelen een rol bij convergentie en bij het vinden van verdelingen van sommen van onafhankelijke variabelen, maar zijn minder universeel dan de karakteristieke functie.