matrijzen

Een matrijs (meervoud: matrijzen) is een rechthoekige tabel van getallen, symbolen of functies georganiseerd in rijen en kolommen. Een matrijs met m rijen en n kolommen wordt genoteerd als A ∈ F^{m×n}, waarbij de entry a_{ij} het i-de rij- en j-de kolomelement aangeeft. Veelgebruikte velden zijn de reële getallen R, de complexe getallen C of andere velden. Matrijsen dienen als representatie van lineaire transformaties en systemen van lineaire vergelijkingen.

Operaties: matrijsen ondergaan optelling en product met een scalar, en matrixvermenigvuldiging met andere matrijsen. Twee matrijsen van hetzelfde formaat kunnen elementgewijs worden opgeteld; bij matrixvermenigvuldiging wordt A ∈ R^{m×n} en B ∈ R^{n×p} een C ∈ R^{m×p} bepaald met c_{ij} = ∑_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. De transpose A^T verwisselt rijen en kolommen. Een vierkante matrijs is mogelijk inverteerbaar als det(A) ≠ 0 en bestaat een inverse A^{-1} met AA^{-1} = A^{-1}A = I. De determinant geeft een schaalfactor van volumes bij transformaties en geeft invertibiliteit aan voor vierkante matrijsen.

Speciale klassen: diagonale matrijsen hebben alleen elementen op de hoofddiagonaal; driehoeksmatrices hebben elementen uitsluitend onder of boven de diagonaal; symmetric (A^T = A), en orthogonal (A^T A = I) matrijsen zijn veelvuldig in toepassingen. De rang r(A) is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen.

Toepassingen: het oplossen van lineaire stelsels A x = b, met methoden als Gauss-eliminatie en LU-decompositie; representatie van lineaire transformaties in meetkunde en computergraphics; statistiek en machine learning, waar matrijsen gewaarborgd worden als modelleringseenheden voor data en parameters.