isometrias

Una isometría es una transformación entre espacios métricos que conserva la distancia entre puntos: para cualquier par de puntos x y y del dominio se tiene d(f(x), f(y)) = d(x, y). Las isometrías son inyectivas y, en la mayoría de los contextos, también bijectivas; preservan longitudes y ángulos, y, por lo tanto, mantienen la forma de figuras y la estructura geométrica.

En el espacio euclidiano R^n con la distancia euclidiana, toda isometría está asociada a una transformación afín del tipo f(x) = Ax + b, donde A es una matriz ortogonal (A^T A = I) y b es un vector. El conjunto de todas las isometrías de R^n forma el grupo euclidiano E(n), que es el producto semidirecto de O(n) con R^n. En términos simples, las isometrías de R^n son combinaciones de rotaciones o reflexiones seguidas de traslaciones.

En el plano, las isometrías se clasifican comúnmente en cuatro tipos: traslación (desplazar todo sin rotar), rotación (acercarse o alejarse girando alrededor de un punto), reflexión (voltear respecto a una recta), y deslizamiento con reflexión, conocido como reflexión acompañada de una traslación paralela a la recta de reflexión (glide reflection). Las isometrías conservan la congruencia de figuras, miden de forma inalterable longitudes y ángulos, y mapéan líneas a líneas y circunferencias a circunferencias.

Las isometrías tienen aplicaciones en física, informática, robótica, gráficos por computadora y cristalografía, donde la idea central es estudiar movimientos rígidos que no deforman las figuras. Ver también simetría, grupo de symmetries y movimientos rígidos.