traslación

La traslación es una transformación geométrica que desplaza cada punto de una figura la misma cantidad en una dirección fija. En el plano, una traslación está definida por un vector de traslación v = (a, b). El resultado es la imagen T_v(F) de la figura F, donde cada punto P se mapea a P' = P + v.

Propiedades: conserva la longitud y los ángulos (es una isometría); la figura resultante es congruente con la original; no hay rotación ni reflexión, por lo que la orientación se conserva. Las líneas que componen la figura se desplazan a paralelas; el resultado de una traslación de una recta es otra recta paralela.

Composición: la combinación de dos traslaciones T_u y T_v es otra traslación T_{u+v}. El conjunto de todas las traslaciones forma un grupo abeliano, isomorfo a R^2, bajo la operación de composición.

Representación algebraica: en coordenadas cartesianas, un punto (x, y) se transforma en (x + a, y + b). En coordenadas homogéneas, una traslación se describe por una matriz de 3x3 con la parte lineal identidad y la traslación en la última columna, lo que permite expresar la traslación como una transformación afín.

Aplicaciones: la traslación se utiliza en diseño y gráficos por computadora, ingeniería, robótica y simulaciones físicas, donde es común mover objetos sin cambiar su orientación ni su tamaño. Es una de las transformaciones rígidas básicas estudiadas en geometría.