isometría

La isometría es una transformación o mapa entre espacios métricos que conserva las distancias: para cualquier par de puntos x y y, se cumple d(f(x), f(y)) = d(x, y). En el espacio euclídeo R^n, una isometría f se puede expresar como f(x) = Ox + b, donde O es una matriz ortogonal (OᵀO = I) y b es un vector en R^n. Por ello, las isometrías conservan longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, y, en general, la congruencia de figuras.

Las isometrías pueden ser orientadas o no. Si det(O) = 1, son orientaciones-preservantes (rotaciones y traslaciones); si det(O) = -1, son orientaciones-reversoras (reflexiones y combinaciones). En el plano, las isometrías más comunes son traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones deslizantes (glide reflections). En dimensiones superiores se ven como transformaciones x ↦ Ox + b con O ortogonal.

El conjunto de todas las isometrías de R^n forma el grupo euclidiano E(n); su subconjunto de isometrías que conservan la orientación es SE(n), que agrupa rotaciones y traslaciones.

Las isometrías permiten definir la congruencia: dos figuras son congruentes si existe una isometría que las lleva de una a la otra. Son fundamentales en campos como la robótica, la visión por computadora, la informática gráfica, el diseño y la cristalografía, donde la rigidez y la equivalencia de formas son conceptos centrales. En general, una isometría es inyectiva y, en el contexto euclídeo, suele ser biyectiva.