inyectiva

Inyectiva, en matemáticas, describe a una función que es uno a uno. Una función f: A → B es inyectiva si diferentes elementos del dominio A se asignan a diferentes elementos del codominio B. Formalmente, para todo x, y en A, si f(x) = f(y) entonces x = y. Equivalente a ello, si x ≠ y, entonces f(x) ≠ f(y).

Una función inyectiva también puede definirse por la propiedad de que la imagen de cada elemento del dominio es único respecto a otros elementos: ningún dos elementos distintos de A comparten la misma imagen en B. Esto implica que la función no “colapsa” distintos elementos de A a un mismo valor en B.

Ejemplos: la función f(x) = 2x, de los números reales a los reales, es inyectiva porque si 2x1 = 2x2, entonces x1 = x2. Por contraste, la función g(x) = x^2 no es inyectiva en el conjunto de los números reales, ya que g(−1) = g(1) = 1.

Propiedades y consecuencias: una función inyectiva tiene un left inverse: existe g: B → A tal que g(f(x)) = x para todo x en A, cuando se restringe g al imagen de f. En teoría de conjuntos, la existencia de una inyectiva de A en B implica que el cardinal de A es menor o igual al de B. En categorías, la inyectividad de mapas bajo la interpretación Set coincide con el concepto de monomorfismo.

Usos: las inyectivas son fundamentales en teoría de funciones, estructuras algebraicas y teoría de conjuntos, donde se estudian embebidos, cardinalidades y representaciones.