bijectivas

Las funciones bijectivas son funciones que establecen una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, A y B. Una función f: A → B es bijectiva si es inyectiva y suryectiva. En otras palabras, cada elemento de A se empareja con un único elemento de B y, a la vez, cada elemento de B tiene exactamente un preimagen en A. Por ello, no existen dos elementos distintos de A que se vayan al mismo elemento de B, y todos los elementos de B son alcanzados.

Una propiedad central es que toda bijección tiene una inversa bien definida: f^{-1}: B → A, tal que f^{-1}(f(a)) = a para todo a en A y f(f^{-1}(b)) = b para todo b en B. La inversa también es bijectiva. Las bijectivas permiten revertir la acción de la función sin perder información, lo que las hace fundamentales en la teoría de conjuntos y en la definición de equivalencias estructurales.

Las bijectivas son clave para comparar tamaños de conjuntos: si existe una bijección entre A y B, entonces A y B tienen la misma cardinalidad. Este concepto se aplica tanto a conjuntos finitos como infinitos. En conjuntos finitos, una bijección entre A y B implica que B puede obtenerse mediante una permutación de A. En teoría de conjuntos y en categorías, las bijectivas corresponden a isomorfismos entre objetos, preservando la estructura de la relación entre ellos.

Ejemplos: la función f que mapea {1,2,3} a {a,b,c} mediante 1→a, 2→b, 3→c es bijectiva. La función f(n) = n+1 de Z a Z es una bijección. Un ejemplo no bijectivo es f: {1,2} → {x}, con 1→x y 2→x, que no es inyectiva.