cardinalidad

Cardinalidad es una noción central de la teoría de conjuntos que describe el tamaño de un conjunto. En matemática, el cardinal de un conjunto A, denotado |A|, representa cuántos elementos contiene; puede ser finito o infinito.

Para conjuntos finitos, |A| es un entero no negativo. Para conjuntos infinitos, se emplean números cardinales: aleph_0 es el cardinal del conjunto de los números naturales, y c = 2^{aleph_0} es el cardinal del conjunto de los reales, conocido como el continuo. Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos; si existe una inyección de A en B y una inyección de B en A, entonces |A| = |B| (teorema de Cantor-Bernstein).

La cardinalidad permite comparar tamaños de conjuntos: se dice que dos conjuntos tienen igual cardinalidad cuando hay una biyección; de lo contrario, hay una desigualdad.

En aritmética de cardinales, cuando al menos uno de los cardinales es infinito, se cumplen κ + λ = max(κ, λ) y κ · λ = max(κ, λ) para κ, λ mayores que cero. La operación exponencial, 2^κ, produce el cardinal del conjunto de todas las funciones desde un conjunto de tamaño κ a {0,1}, y es la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto de tamaño κ.

En teoría de conjuntos y lógica, se estudian también otros cardinales, como aleph_1, aleph_2, y la hipótesis del continuo (CH) que pregunta si 2^{aleph_0} = aleph_1.

En bases de datos y estructuras, la cardinalidad de una columna se refiere al número de valores distintos que puede tomar; se habla de alta o baja cardinalidad y esto afecta el diseño de índices y el rendimiento de consultas.