biyección

Una biyección, también llamada biunívoca, es una función entre dos conjuntos que es a la vez inyectiva y sobreyectiva, de modo que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio A y del codominio B. En una biyección every elemento de A tiene un único asociado en B y every elemento de B es la imagen de un único elemento de A.

Si f: A → B es bijectiva, existe una función inversa f^{-1}: B → A tal que f^{-1}(f(a)) = a para todo a en A y f(f^{-1}(b)) = b para todo b en B. Esta inversa demuestra que la biyección es invertible y que la relación entre A y B es reversible.

Una consecuencia clave es que A y B tienen la misma cardinalidad. En conjuntos finitos, una función de A a B que es inyectiva ya es suryectiva si |A| = |B|, y viceversa. En contextos de conjuntos infinitos, una biyección es la forma formal de decir que A y B son equipotentes.

Ejemplos típicos: la función f(n) = n+1 de los enteros Z a Z no es una biyección porque no es sobreyectiva (no alcanza a ciertos valores). En cambio, la función g(n) = −n de Z a Z es una biyección; su inversa es ella misma. Otra clase importante son las permutaciones: bijections de un conjunto finito consigo mismo, que corresponden a reordenamientos de esos elementos.

Las biyecciones son fundamentales para entender conteo, equivalencias entre estructuras y la existencia de correspondencias canónicas entre conjuntos con la misma cardinalidad.