intersectiecondities

Intersectiecondities zijn de voorwaarden waaronder twee of meer wiskundige objecten elkaar snijden of een gemeenschappelijke oplossing hebben. Ze geven aan wanneer een snijpunt bestaat, wat de aard van de snijpunten is en hoe men ze kan bepalen.

In de meetkunde verwijst een snijpunt naar een punt dat ligt op alle betrokken objecten. Bij lijnen in twee dimensies geldt bijvoorbeeld: twee lijnen snijden elkaar als ze niet parallel zijn; het snijpunt wordt gevonden door de vergelijkingen gelijk te stellen. Als de lijnen parallel zijn, bestaat er geen snijpunt; als ze samenvallen, zijn er oneindig veel snijpunten. Voor vlakken of krommen geldt een vergelijkbaar idee, maar de snijpunten kunnen een punt, een lijn of juist een veelvoud aan punten vormen, afhankelijk van de objecten.

Algemene formulering: bij functies f en g in R^n geldt dat de snijpunten de oplossingen zijn van het stelsel f(x) = 0 en g(x) = 0. De aard van de snijpunten kan worden onderzocht via concepten als transversaliteit: een snijpunt is transversal als de spanningen (gradiënten) ∇f en ∇g op dat punt lineair onafhankelijk zijn. Als dat niet het geval is, spreekt men soms van tangente snijpunten of van hogere-orde overlapping.

Voor verzamelingen geldt de intersectie A ∩ B als de verzameling van alle elementen die zowel in A als in B voorkomen. De niet-lege conditie kan geval per geval worden geabstraheerd, bijvoorbeeld bij intervallen: [a, b] ∩ [c, d] is niet leeg als max(a, c) ≤ min(b, d).

Computational kan men intersecties vinden door substitution, eliminatie of numerieke methoden zoals Newton-Raphson; voor polynoomsystemen worden ook algebraïsche technieken zoals Groebner-bases toegepast.