intensiteitsmodellen

Intensiteitsmodellen zijn statistische modellen die de intensiteit van een puntproces beschrijven. Een puntproces registreert de tijdstippen van discrete gebeurtenissen, zoals transacties, aardbevingen of neurale spike-trains. De intensiteit λ(t|H_t) geeft de verwachte snelheid waarmee gebeurtenissen optreden op tijd t, gegeven de historische informatie H_t tot die tijd. Het doel is om zowel het verloop van de gebeurtenissen als de toekomstige kans op een gebeurtenis te modelleren.

Een veelvoorkomend onderscheid is tussen deterministische (inhomogene) en stochastische intensiteiten. Bij een inhomogeen Poissonproces is λ(t) deterministisch en tikt de procesregelmatig gebeurtenissen af met een tijdsafhankelijke maar vaste intensiteit. Een Cox- of dubbelt-stochastisch Poissonproces maakt λ(t) zelf een random proces, waardoor extra onzekerheid wordt opgenomen. Een belangrijke familie zijn Hawkes-processen, waarin de intensiteit afhankelijk is van eerdere gebeurtenissen; elke gebeurtenis kan de kans op toekomstige gebeurtenissen tijdelijk verhogen of verlagen.

Estimatie en inferentie gebeuren doorgaans via de waarschijnlijkheidsfunctie. Voor een observingvenstertijdraam [0,T] met event-tijden t1,...,tn luidt de likelihood L = exp(-∫_0^T λ(u) du) ∏ λ(t_i). Parametrische vormen voor λ(t) of semi- en non-parametrische benaderingen (bijv. spline- of kernelmethoden) worden gebruikt, evenals Bayesiaanse benaderingen. Modellering van covariaten en marks is mogelijk door λ(t|H_t,X_t) of λ(t|X_t) te specificeren.

Toepassingen komen voor in financiën (orde- en prijsevenementen), epidemiologie (contact- of infectie-events), seismologie (aardbevingen), neurale data, telecommunicatie en sociale media. Intensiteitsmodellen bieden zo een raamwerk voor analyse en voorspelling van tijdsgebonden gebeurtenissen onder onzekerheid.