grensoppervlak

Grensoppervlak is de grens van een driedimensionale verzameling in de Euclidische ruimte. Het bestaat uit de punten die men niet uitsluitend als binnen- of buitenpunt kan beschouwen: elk nabijgelegen open omgeving bevat zowel punten van de verzameling als punten buiten de verzameling. In wiskundige notatie wordt dit vaak geschreven als de grens ∂Ω van een regio Ω ⊂ R^3, waarbij ∂Ω = closure(Ω) \ interior(Ω) in eenvoudige termen.

Een grensoppervlak kan verschillende regelmaat hebben. Als Ω een gebied is met een gladde grens, dan is ∂Ω een tweedimensionale gladde variëteit. Voor polytopes zoals kubus of prisma bestaan grensoppervlakken uit vlakke vlakken die samen een polyhedrale oppervlakte vormen. Bij minder regelmatige grenzen kan het grensoppervlak bestaan uit stukjes met randen en hoeken of zelfs complexer zijn (bij fractale grenzen betekenen de berekeningen vaak Meetkunde op hogere orde).

Voorbeelden helpen bij begrip. De grens van een bol (een bal) is een boloppervlak. De grens van een kubus bestaat uit zes vierkante vlakken die samen de omtrek van de kubus vormen. Een cilindrische regio heeft een grensoppervlak bestaande uit een zijoppervlak van kromming plus twee platte eindvlakken.

Grensoppervlakken spelen een cruciale rol in de techniek en natuurkunde bij oppervlakte-integralen en fluxberekeningen, en in de wiskunde bij stellingen zoals de Gauss-divergentie theorema en de Stokes-theorema. Ze coefficiëneren het begrip van oppervlakte, normale vectoren en oppervlakte-eigenschappen van ruimtelijke regio’s.