geodésicas

Una geodésica es una curva en una variedad con métrica que es localmente la ruta de mayor o menor longitud entre dos puntos cercanos, es decir, un punto crítico del funcional de longitud. En una parametrización por arclargo, una geodésica tiene una velocidad constante y su aceleración covariante a lo largo de la curva se anula; en lenguaje técnico, D/dt x′(t) = 0. También puede describirse como una curva que paraleliza su vector tangente a lo largo de sí misma (autoparalela).

En geometría diferencial, las geodésicas dependen de la conexión métrica, típicamente la conexión de Levi-Civita asociada a la métrica. En un espacio euclidiano con métrica estándar, las geodésicas son rectas. En la esfera, las geodésicas son los grandes circunferencias (grandes círculos), que son las rutas de menor distancia entre puntos sobre la superficie, hasta un máximo de 180 grados.

Una geodésica también puede entenderse intrínsecamente como una curva cuyo curvado geodésico es nulo: la componente de aceleración que permanece tangente a la superficie es cero, de modo que todo el avance curvo es puramente normal a la superficie en el punto. En superficies embebidas, esto permite describir geodésicas como rutas que no "se doblan" respecto a la geometría local.

Las geodésicas tienen aplicaciones en navegación y geodesia como modelos de rutas eficientes, y en física, especialmente en relatividad general, donde los cuerpos en ausencia de fuerza externa siguen geodésicas del espacio-tiempo. También se estudian desde el punto de vista variacional, al ser curvas críticas de los funcionales de longitud y energía.