equação

Uma equação é uma afirmação de que duas expressões são iguais, normalmente envolvendo variáveis, constantes e operadores, separadas por um sinal de igualdade (=). O objetivo é encontrar os valores das variáveis que tornam a afirmação verdadeira, ou determinar que não existem tais valores. Os conjuntos de soluções são chamados de solução(es) da equação.

Existem diferentes tipos de equações. As mais básicas são as algébricas, que envolvem apenas operações com números e incógnitas. Dentro delas, as equações lineares têm termos de grau máximo um em cada incógnita; as equações polinomiais podem ter grau superior a um. Existem também equações quadráticas (ax^2 + bx + c = 0), cúbicas, exponenciais (a^x = b), logarítmicas e trigonométricas. Em alguns casos trabalha-se com sistemas de equações, ou com equações diferenciais que envolvem derivadas. Também se fala em equações transcendentes, quando não é possível expressar as soluções apenas por operações algébricas.

Exemplos simples ajudam a ilustrar. A equação linear 3x + 5 = 11 tem solução x = 2. Uma equação quadrática, a x^2 + b x + c = 0, pode ter zero, uma ou duas soluções reais, dependendo do discriminante b^2 − 4ac. Em contraste, uma identidade, como 2(x+1) = 2x+2, é verdadeira para todo valor de x.

Para resolver equações, utilizam-se métodos algébricos de isolamento, fatoração, substituição e, no caso de sistemas, métodos de eliminação ou resolução por matrizes. Quando não há soluções exatas, adota-se a resolução numérica, com métodos como tentativa e erro, bisseção ou Newton-Raphson, que fornecem aproximações. Gráficos ajudam a visualizar as soluções como pontos de interseção entre curvas.

As equações são centrais em matemática, ciência e engenharia. Elas modelam relações entre variáveis em física, economia, biologia e informática, entre outras áreas, permitindo prever comportamentos, otimizar quantidades e entender padrões. Em teoria, distingue-se entre equação, identidade e desigualdade, sendo a identidade verdadeira para todo valor da variável.