matrizes

As matrizes são estruturas retangulares de números ou elementos de um corpo, organizadas em linhas e colunas. Uma matriz A pode ser descrita por seu tamanho m x n, significando que tem m linhas e n colunas. Os elementos são denotados a_{ij}, onde i índice a linha e j índice a coluna.

Operações básicas: adição e subtração de matrizes de igual tamanho, entrada por entrada; multiplicação por um escalar; assim chamada multiplicação de matrizes, onde o produto A (m x p) por B (p x n) resulta numa matriz C (m x n) com c_{ij} = sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}.

Transposta: A^T, obtida trocando linhas por colunas. Matrizes especiais: matriz nula 0_{m x n}, matriz identidade I_n (ou I_m) para dimensões iguais. Em matrizes quadradas (n x n) podem ter determinante det(A). Se det(A) ≠ 0, A é invertível e existe A^{-1} com A A^{-1} = I_n. A inversa não está definida para matrizes singulares.

Propriedades adicionais: o posto/rank(A) mede a independência das linhas/colunas e influencia a solvência de sistemas lineares; propriedades como simetria (A^T = A) e ortogonalidade (A^T A = I) são importantes em diversas áreas.

Eigenvalores e eigenvetores: para matrizes quadradas, soluções de Av = λv, associam-se a direções invariáveis sob a transformação linear representada por A. Descomposições como LU, QR e fatoração em valores singulares (SVD) são usadas para resoluções numéricas.

Aplicações: resolução de sistemas lineares, transformações lineares em computação gráfica, física, engenharia, estatística, ciência de dados e aprendizagem de máquina.