Eigenvalores

Un valor propio, a veces denominado eigenvalor, de una matriz cuadrada A es un escalar λ para el que existe un vector no nulo v tal que A v = λ v. El vector v se denomina autovector correspondiente a λ. En la literatura, a veces se usa el término eigenvalores para referirse a los valores propios. Los eigenvalores se obtienen resolviendo la ecuación característica det(A - λ I) = 0, donde I es la matriz identidad. Las raíces de este polinomio, contadas con multiplicidad, forman el espectro de A. La multiplicidad geométrica de un eigenvalor es la dimensión del espacio nulo de A - λ I, es decir, cuántos autovectores lineales independientes acompañan a λ.

Una matriz A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que P^-1 A P sea diagonal. Esto ocurre si A tiene n autovalores linealmente independientes. Si A tiene n valores propios distintos, entonces A es automáticamente diagonalizable. En matrices reales, si A es simétrica, sus eigenvalores son reales y puede elegirse un conjunto de autovectores ortogonales, lo que permite una descomposición espectral.

Propiedades: la traza de A es la suma de sus eigenvalores, contando multiplicidades; el determinante de A es el producto de los eigenvalores. Los eigenvalores son invariantes bajo transformaciones semejantes. Si A es triangular, los eigenvalores aparecen en la diagonal.

Si A tiene entradas reales, sus eigenvalores pueden ser reales o complejos; los complejos aparecen en pares conjugados. Las aplicaciones de los eigenvalores incluyen el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos, la descomposición espectral y técnicas como el análisis de componentes principales, además de usos en cadenas de Markov y en la solución de ecuaciones diferenciales lineales.