ortogonalidade

Ortogonalidade é um conceito central em matemática, referindo-se à relação de perpendicularidade entre objetos, geralmente sob a forma de um produto interno. Em espaços vetoriais reais ou complexos, dois vetores u e v são ortogonais se o produto interno ⟨u, v⟩ é igual a zero.

No espaço euclidiano real R^n equipado com o produto interno padrão (produto escalar), isso equivale a um ângulo de 90 graus entre os vetores. Em espaços complexos, a definição usa o produto interno conjugado: ⟨u, v⟩ = sum u_i conjugado(v_i). A ortogonalidade implica que o ângulo entre os vetores é π/2, exceto pelo caso trivial de u ou v nulo.

Um conjunto de vetores é chamado de ortogonal quando quaisquer dois vetores distintos são ortogonais; se, além disso, cada vetor tem norma unitária, o conjunto é ortonormal.

A ortogonalidade também se estende a subespaços: dois subespaços são ortogonais se todo vetor de um é ortogonal a todo vetor do outro; o complemento ortogonal de um subespaço V é o conjunto de vetores ortogonais a todos em V.

Propriedades úteis incluem a decomposição de qualquer vetor como soma de componentes paralela a um subespaço e ortogonal ao seu complemento, e o uso da projeção ortogonal para minimizar erros (mínimos quadrados). Métodos práticos como Gram–Schmidt produzem bases ortonormais a partir de bases arbitrárias.

Em funções, ortogonalidade é definida via integrais: duas funções f e g são ortogonais em [a, b] se a integral de f(x)g(x) dx sobre [a, b] é zero. Conjuntos de funções ortogonais aparecem em séries de Fourier e em análise de sinais.