ortonormais

Ortonormais, no contexto da álgebra linear, refere-se a um conjunto de vetores que são, ao mesmo tempo, ortogonais entre si e de norma unitária. Em termos do espaço vetorial com produto interno, um conjunto {v1, v2, ..., vk} é ortonormal se <vi, vj> = 0 para i ≠ j e ||vi|| = 1 para todo i. No espaço real, o produto interno é o produto escalar usual; no espaço complexo, utiliza-se o produto interno com conjugação, de modo que <vi, vi> seja a norma ao quadrado de vi.

Uma base ortonormal é um conjunto ortonormal que também gera o espaço vetorial, ou seja, é uma base. Em R^n, uma base ortonormal possui n vetores linearmente independentes que geram R^n. Projeções de vetores sobre uma base ortonormal são simplificadas: as coordenadas de um vetor em relação a essa base são apenas os coeficientes das projeções sobre cada vetor da base, obtidos via produtos internos.

Interpretando os vetores como colunas de uma matriz Q, a propriedade ortonormal implica Q^T Q = I (ou Q* Q = I no caso complexo), o que implica que Q é ortogonal (real) ou unitária (complexa). Consequentemente, a inversa de Q é Q^T (ou Q*), preservando comprimentos e ângulos, e qualquer vetor pode ser expresso com coordenadas mínimas na base.

Gram-Schmidt é um procedimento padrão para transformar um conjunto de vetores linearmente independentes em uma base ortonormal, mantendo o mesmo espaço gerado. Aplicações comuns incluem decomposição QR, transformações de rotação, processamento de sinais e métodos de least squares.

Exemplos simples: no R^2, as bases canônica e qualquer base obtida por uma rotação são ortonormais. Em geral, conjuntos ortonormais simplificam cálculos, reduzem matrizes a formas simples e ajudam na interpretação geométrica de vetores.