ortogonais

Ortogonais refere-se a um conceito de perpindicularidade em matemática, usado para descrever objetos que se cruzam em ângulo de 90 graus em um sentido geral. Em espaço euclidiano, dois vetores v e w são ortogonais se o produto interno v·w é igual a zero. O produto interno representa uma medida de semelhança direcional e, em R^n com o produto escalar padrão, a ortogonalidade significa que os vetores não se influenciam na direção entre si.

A ideia se estende a subespaços: dois subespaços V e W são ortogonais se cada vetor de V é ortogonal a cada vetor de W. O conjunto de vetores ortogonais a um subespaço é chamado complemento ortogonal. O complemento ortogonal facilita decompor um espaço em componentes independentes em termos de direções ortogonais.

Conjuntos ortogonais e ortonormais: um conjunto de vetores é ortogonal se os vetores entre si são ortogonais; é ortonormal quando, além disso, cada vetor tem norma 1. O processo de Gram–Schmidt transforma qualquer conjunto linearmente independente em um conjunto ortonormal, útil para construir bases conveniently.

Matrizes ortogonais: uma matriz A é ortogonal se A^T A = I. As colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal. Matrizes ortogonais preservam o produto interno e as normas: para quaisquer v, w, as distâncias e ângulos permanecem inalterados após multiplicação por A. Autoinversas, também têm determinante ±1, e são usadas para mudanças de bases conservando estruturas.

Aplicações incluem projeção ortogonal de vectores sobre subespaços, resolução de mínimos quadrados, decomposição de sinais e séries (como Fourier), design de experimentos com contrastes ortogonais e várias técnicas de processamento de dados. Exemplos comuns aparecem em espaços euclidianos e em espaços com produto interno generalizado.