exponenciais

Exponenciais referem-se a funções que crescem ou decrescem multiplicando o valor anterior por uma constante. A forma padrão é f(x) = a b^x, com a ≠ 0 e base b>0, b≠1. Também podem ser escritas como f(x) = a e^{k x}, onde k = ln b. Quando a base é o número e, a função é chamada exponencial natural e possui propriedades diferenciáveis simples.

Propriedades básicas: o domínio é o conjunto dos números reais. O sinal da função depende de a: se a>0, f(x) > 0 para todo x; se a<0, f(x) < 0. A função é estritamente crescente se k>0 (ou se b>1) e estritamente decrescente se k<0 (ou se 0<b<1). Para b>1 e a>0, f(x) tende a ∞ quando x→∞ e a 0 quando x→−∞; nesses casos, pode-se falar de crescimento exponencial rápido. A função é contínua e suave, com curvatura que depende de k.

Derivada, integral e inversa: a derivada de f(x) = a e^{k x} é f′(x) = a k e^{k x} = k f(x). A integral é ∫ f(x) dx = (a/k) e^{k x} + C (quando k ≠ 0). As exponenciais são inversas dos logaritmos: o inverso de y = b^x é x = log_b(y).

Aplicações: modelos de crescimento populacional, decaimento radioativo, juros compostos contínuos, e fenômenos que apresentam variação percentual constante. Em muitos contextos, a base natural e ≈ 2,71828 facilita a expressão e a diferenciação, levando à forma f(x) = a e^{k x} com propriedades úteis para análise matemática.