eigendecompositie

Eigendecompositie is een manier om een vierkante matrix A te modelleren als A = P D P^{-1}, waarbij P een invertibele matrix is waarvan de kolommen eigenvectoren van A zijn en D een diagonale matrix met de bijbehorende eigenwaarden. In dit kader geldt A v_i = λ_i v_i en P^{-1} A P = D, waarbij λ_i de diag elementen van D zijn en v_i de kolomvectoren van P vormen.

Een matrix heeft een eigendecompositie als er n lineair onafhankelijke eigenvectoren bestaan, oftewel als A diagoneelbaar is. Dit is equivalent aan het bestaan van een basis van eigenvectoren en aan de eis dat de geometrische multipliciteit van elke eigenwaarde samen opgeteld gelijk is aan n. Niet alle matrices zijn diagoneelbaar; bij matrices met onvoldoende eigenvectoren kan men uitkomen bij een Jordan-decompositie.

Berekening: bepaal eerst de eigenwaarden λ door det(A − λI) = 0. Voor elke eigenwaarde λ zoek je de eigenruimte N(A − λI) en kies een basis van daarin. Verzamel voldoende eigenvectoren zodat P invertibel is. Dan krijg je A = P D P^{-1}, waarin D de eigenwaarden bevat en de kolommen van P de bijbehorende eigenvectoren.

Eigenschappen en toepassingen: voor elke functie f die gedefinieerd is op het spectrum geldt f(A) = P f(D) P^{-1}. Dit maakt het mogelijk om bijvoorbeeld e^{A t} te berekenen via e^{D t}. Voor reële symmetrische matrices bestaat er bovendien een spectrale decompositie A = Q Λ Q^T met Q orthogonal en Λ diagonaal, wat de berekening vereenvoudigt en begrip van de structuur versterkt.

Samengevat biedt de eigendecompositie een gestructureerde, vaak eenvoudige representatie van een matrix via zijn eigenwaarden en eigenvectoren.