dubbelintegraal

Een dubbelintegraal is een integraal die een functie van twee variabelen over een tweedimensionale regio in het vlak verwerkt. Voor een functie f(x,y) en een gebied D ⊂ R^2 wordt de dubbelintegraal geschreven als ∫∫_D f(x,y) dA, waarbij dA een element van oppervlakte representeert (bijvoorbeeld dx dy of dy dx).

Wanneer D een rechthoek is, kan men de integraal als iteratieve integralen schrijven: ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx of ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy. Fubini's stelling stelt dat als f continu is op D, de dubbelintegraal gelijk is aan de volgorde-oute uitvoering van de iteraties. In het algemeen geldt dat ∫∫_D f dA kan worden omgezet bij verandering van variabelen naar een andere coördinatensysteem, met gebruik van de Jacobiaan.

Als D niet uit een rechthoek bestaat, kan men de regio opdelen of transformeren naar een vereenvoudigde vorm. Veelvoorkomende regio’s zijn ook beschrijvingen via ongelijkheden of via polaire coördinaten voor cirkel- of boogvormige gebieden. Veranderingen van variabelen kunnen de berekening vereenvoudigen door de integrand en het gebied te vereenvoudigen.

Geometrisch gezien geeft de dubbelintegraal de hoeveelheid volume onder het oppervlak z = f(x,y) boven de regio D, of, als f een dichtheidsfunctie is, de totale massa of kansmassa over dit gebied. Toepassingen bevinden zich in fysica, engineering, waarschijnlijkheidsleer en vele andere vakgebieden, bijvoorbeeld bij het berekenen van volumes, oppervlakten, massa’s en verwachtingswaarden.