diffusievergelijking
De diffusievergelijking is een parabolische partiële differentiaalvergelijking die de tijdsafhankelijke verdeling beschrijft van een stof of grootheid die door een medium diffundeert. In eendimensionale ruimte luidt zij: ∂u/∂t = D ∂^2u/∂x^2, waarbij u(x,t) de concentratie of temperatuur voorstelt en D de diffusiecoëfficiënt is. In meerdere dimensies wordt dit geschreven als ∂u/∂t = D ∇^2 u, met ∇^2 de Laplacian. Voor anisotrope media kan D een positieve-definite tensor zijn en geldt in meer algemene vorm ∂u/∂t = ∇·(D ∇u).
Toepassing en afleiding: volgens Fick’s wetten vormt de flux J = -D ∇u de relatie tussen gradiënt
Oplossingen en randvoorwaarden: een beginvoorwaarde is u(x,0) = f(x). Randvoorwaarden kunnen bestaan uit Dirichlet-voorwaarden (u = g op
Numerieke benaderingen: veelgebruikte methoden zijn finite difference en finite element; expliciete tijdstappen vereisen vaak kleine tijdstappen
Relaties en toepassingen: de diffusievergelijking is de basis van warmtegeleiding, massatransport en reaction-diffusie-systemen in biologie en