diffusievergelijking

De diffusievergelijking is een parabolische partiële differentiaalvergelijking die de tijdsafhankelijke verdeling beschrijft van een stof of grootheid die door een medium diffundeert. In eendimensionale ruimte luidt zij: ∂u/∂t = D ∂^2u/∂x^2, waarbij u(x,t) de concentratie of temperatuur voorstelt en D de diffusiecoëfficiënt is. In meerdere dimensies wordt dit geschreven als ∂u/∂t = D ∇^2 u, met ∇^2 de Laplacian. Voor anisotrope media kan D een positieve-definite tensor zijn en geldt in meer algemene vorm ∂u/∂t = ∇·(D ∇u).

Toepassing en afleiding: volgens Fick’s wetten vormt de flux J = -D ∇u de relatie tussen gradiënt en flux; behoud van massa levert ∂u/∂t + ∇·J = 0, waardoor de diffusievergelijking volgt.

Oplossingen en randvoorwaarden: een beginvoorwaarde is u(x,0) = f(x). Randvoorwaarden kunnen bestaan uit Dirichlet-voorwaarden (u = g op het grensoppervlak), Neumann-voorwaarden (∂u/∂n = h) of Robin-voorwaarden (αu + β ∂u/∂n = r). De fundamentele oplossing in R^d bij een initiële delta is G(x,t) = (4πDt)^{-d/2} exp(-|x|^2/(4Dt)); voor d=1 geldt G(x,t) = (4πDt)^{-1/2} exp(-x^2/(4Dt)).

Numerieke benaderingen: veelgebruikte methoden zijn finite difference en finite element; expliciete tijdstappen vereisen vaak kleine tijdstappen (stabiliteitsvoorwaarden), terwijl impliciete schema’s grotere tijdstappen toelaten.

Relaties en toepassingen: de diffusievergelijking is de basis van warmtegeleiding, massatransport en reaction-diffusie-systemen in biologie en milieuwetenschappen, en verschijnt in varianten zoals de Fokker-Planck-vergelijking.