differentievergelijkingen

Differentievergelijkingen, in het Nederlands meestal aangeduid als verschilvergelijkingen, zijn wiskundige relaties waarin een onbekende reeks x_n afhankelijk is van eerdere termen van dezelfde reeks. Ze beschrijven hoe de waarde van een resulta­tieve term uit voorgaande termen wordt afgeleid, vaak in discrete tijdstappen. Verschillende typen bestaan: lineaire versus niet-lineaire verschilvergelijkingen en homogene versus niet-homogene vormen. Ze dienen als de discrete tegenhanger van differentiaalvergelijkingen en komen voor in populatiemodellering, economische modellen, digitale signaalverwerking en algoritmisch ontwerp.

Een veelvoorkomende vorm is een lineaire verschilvergelijking met constante coëfficiënten van orde m:

x_{n+m} + a_{m-1} x_{n+m-1} + ... + a_0 x_n = g(n).

Als het niet-homogene deel g(n) gelijk aan nul is, spreken we van een homogene vergelijking; anders is het niet-homog. De oplossing bestaat uit de som van de algemene oplossing van het homogene deel en een particuliere oplossing voor het niet-homogene deel. Voor lineaire verschilvergelijkingen met constante coëfficiënten volgt men vaak de karakteristieke vergelijking:

r^m + a_{m-1} r^{m-1} + ... + a_0 = 0.

De wortels bepalen de structuur van de oplossing; bijvoorbeeld exponentiële termen raken if de wortels reële of complexe zijn, en hun multipliciteit beïnvloedt de groeivorm.

Oplossingsmethoden variëren van directe recursieve berekeningen tot gesloten vormen via de karakteristieke wortels. In gevorderde gevallen worden generating functies of z-transformaties toegepast. Een bekend voorbeeld is de Fibonacci-relatie F_n = F_{n-1} + F_{n-2} met F_0 = 0 en F_1 = 1, een klassieke lineaire verschilvergelijking van orde twee.

Toepassingen en analyse richten zich op orde, stabiliteit en convergentie van de reeksen, evenals de interpretatie van niet-homogene termen als externe invoer of ruis in het model.