differentiallösningar

Differentiallösungen bezeichnet man Funktionen, die eine gegebene Differentialgleichung erfüllen. In der Regel handelt es sich um Gleichungen, die die Ableitungen einer Funktion y(x) in Beziehung zueinander setzen. Die Gesamtheit der Funktionen, die die Gleichung erfüllen, nennt man die Lösungsmenge. Man unterscheidet allgemeine Lösungen, die Integrationskonstanten enthalten, von konkreten, durch Anfangs- oder Randbedingungen bestimmten speziellen Lösungen.

Differentialgleichungen werden nach Ordnung, Linearität und Homogenität klassifiziert. Die Ordnung entspricht der höchsten Ableitung, z. B. erste oder zweite Ordnung. Lineare Gleichungen enthalten y und ihre Ableitungen linear, z. B. y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x). Homogene Gleichungen setzen g(x)=0; inhomogene Gleichungen haben eine nicht verschwindende rechte Seite. Die allgemeine Lösung einer linearen Gleichung ist die Summe aus der Lösung des homogenen Teils (komplementäre Lösung) und einer zusätzlichen speziellen Lösung des inhomogenen Teils. Ist eine Anfangsbedingung y(x0)=y0 gegeben, ergibt sich eine eindeutige, spezifische Lösung (falls die Voraussetzungen der Existenz- und Eindeutigkeit erfüllt sind).

Zu den gängigen Lösungsarten gehören analytische Verfahren wie Trennung der Variablen, Integrationsfaktoren für lineare erste Ordnung, charakteristische Gleichungen für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Variation der Konstanten und, bei Anwendungen, die Laplace-Transform. Numerische Methoden wie das Euler-Verfahren oder Runge-Kutta-Verfahren ermöglichen die Annäherung an Lösungen, insbesondere bei nichtlinearen oder komplexen Randwertproblemen. Randwertprobleme können mittels Shootings oder Mass-Matrix-Ansätzen gelöst werden.

Beispiele: Die einfache Gleichung y' = a y hat die allgemeine Lösung y(x) = C e^{a x}. Mit der Anfangsbedingung y(0)=y0 ergibt sich C = y0. Eine lineare zweite Ordnung y'' + p y' + q y = g(x) besitzt je nach Form der Koeffizienten eine Vielzahl von Lösungsformen, wobei das Verhalten oft durch die zugehörige charakteristische Gleichung bestimmt wird.