Anfangsbedingung

Anfangsbedingung bezeichnet in der Mathematik die Festlegung des Werts einer gesuchten Funktion zu einem Anfangszeitpunkt oder Anfangszustand. Sie dient der eindeutigen Bestimmung der Lösung eines Anfangswertproblems, insbesondere von Differentialgleichungen.

Typisch formuliert man eine Anfangsbedingung zusammen mit einer Differentialgleichung. Beispiel: x'(t) = F(t, x(t)) mit der Anfangsbedingung x(t0) = x0. In mehrdimensionalen Systemen gilt X'(t) = F(t, X(t)) mit X(t0) = X0. Für partielle Differentialgleichungen geben Anfangsbedingungen den Zustand der Lösung zu einem Startzeitpunkt an, z. B. u(x, 0) = u0(x) für alle x im Definitionsbereich.

Anfangsbedingungen unterscheiden sich von Randbedingungen, die die Lösung an räumlichen Grenzen festlegen. In PDEs können zusätzlich zu Anfangsbedingungen Randbedingungen in den Randbereichen erforderlich sein.

Unter bestimmten Regularitäts- und Lipschitz-Bedingungen garantiert der Satz von Picard–Lindelöf Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung eines Anfangswertproblems; die Anfangsbedingung wählt eine eindeutige Lösung aus der Lösungsmenge aus.

Anwendung: In Physik, Technik und Wirtschaft dienen Anfangsbedingungen dazu, konkrete Situationen zu modellieren – etwa die Position und Geschwindigkeit eines Objekts zu t = 0, Anfangswerte einer Bevölkerungs- oder chemischen Reaktion, oder die Startverteilung eines Temperaturfeldes.