differentialiaalmeetkunde

Differentialiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die de meetkundige eigenschappen van gladde ruimten (variëteiten) bestudeert met behulp van calculus. Ze onderzoekt hoe lokale lineaire structuren, zoals tangentruimten en vectorvelden, zich via maps tussen variëteiten gedragen.

Een basisconcept is de metriek: een Riemanniaanse metriek bepaalt lengtes, hoeken en afstanden. Hiermee kunnen geodetische krommen worden gedefinieerd en concepten zoals trajectlengte en afstand gemeten. De Levi-Civita-verbinding levert een unieke tensoriële afgeleide die compatibel is met de metriek en torsie uitsluit.

Kromming, vastgelegd door de Riemann-curvaturetensor, geeft aan hoe ruimten afwijken van vlakke meetkundige ruimte. Verwante invarianten zijn de Ricci-curvatuur en de scalar curvature. Geodesics zijn krommen waarvoor de covariante afgeleide van de tangentvector langs de kromming nul is.

Daarnaast bestudeert men differentiële vormen en de exterior calculus: de de Rham-cohomologie levert topologische invarianten en verbindt integralen op verschillende dimensies via stokes-type relaties.

Toepassingen: in de natuurkunde (algemene relativiteitstheorie en pseudo-Riemanniaanse geometrie), in computer graphics en robotica, en in de studie van ruimten en hun symmetrieën zoals Lie-groepen.

Samenvattend combineert differentialiaalmeetkunde calculus en geometrie om de structuur van ruimten en hun paden te begrijpen, en vormt zij een fundamentele basis voor verdere wiskunde en natuurkunde.