densiteitsmatrix

De densiteitsmatrix, ook wel densiteitsoperator genoemd, is een wiskundige beschrijving van een kwantumsysteem dat zich mogelijk in meerdere toestanden tegelijk bevindt. Hij beschrijft zowel zuivere toestanden als mengsels van toestanden en is vooral bruikbaar bij open systemen en bij statistische ensembles.

Wiskundig is ρ een lineaire operator op de Hilbertruimte. Het is Hermitisch, positief semidefinit en heeft trace één. Een mengsel wordt uitgedrukt als ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i| met p_i ≥ 0 en ∑_i p_i = 1. Voor een zuivere toestand geldt ρ = |ψ⟩⟨ψ| en Tr(ρ^2) = 1; voor gemengde toestanden is Tr(ρ^2) < 1.

Verwachtingswaarden van waarnemers worden berekend als ⟨A⟩ = Tr(ρA). In een gekozen basis |i⟩ heeft ρ de matrixelementen ρ_{ij} = ⟨i|ρ|j⟩. De tijdsontwikkeling van een gesloten systeem wordt gegeven door de von Neumann-vergelijking: iħ dρ/dt = [H, ρ].

Bij partiële trace, als het systeem is verbonden met een omgeving, dan is de gemeten toestand van het systeem beschreven door de gereduceerde densiteitsmatrix ρ_S = Tr_E(ρ_SE). Dit ρ_S kan entanglement tonen en geeft de statistische uitkomsten van metingen op S. Decoherentie kan optreden doordat interactie met de omgeving de coherentie in een bepaalde basis uitwist.

Toepassingen en interpretatie: de densiteitsmatrix is fundamentaal in quantuminformatie, quantumstatistiek en experimentele quantumtomografie. Het formaliseert mengsels en de evolutionaire dynamics van open systemen en biedt een kader voor berekenen van verwachtingen, kansen en entanglementmetingen.

---