bijekcji

Bijekcja, zwana także funkcją odwrotną, to odwzorowanie f: A → B, które jest jednocześnie iniekcją i surjekcją. Oznacza to, że każdy element y ∈ B ma dokładnie jednego preobrazu x ∈ A, takiego że f(x) = y, a każdemu x ∈ A przypisuje się unikalny obraz w B. W ten sposób f tworzy między A a B jedno do jednego odwzorowanie.

Dla bijekcji istnieje odwrotna funkcja f^{-1}: B → A, która odwraca działanie f: f^{-1}(f(x)) = x dla x ∈ A i f(f^{-1}(y)) = y dla y ∈ B. Dzięki istnieniu odwrotnej funkcji bijekcja jest w sensie algebraicznym dwustronnym odwzorowaniem między zbiorami. W praktyce bijekcja ustanawia między A a B jedno‑do‑jedno powiązanie i pozwala przenosić struktury między zbiorami.

Przykłady. Funkcja f: R → R zdefiniowana przez f(x) = x^3 jest bijekcją, ponieważ jest zarówno injective, jak i surjective. Funkcja f(x) = x^2 nie jest bijekcją na całej osi rzeczywistej, ponieważ nie jest injective; natomiast na przedziale [0, ∞) jest bijekcją. Między zbiorami o tej samej liczbie elementów, na przykład f: {1,2,3} → {a,b,c} z 1→a, 2→b, 3→c, istnieje bijekcja.

Liczba bijekcji między dwoma finite zbiorami A i B o cardinalności n wynosi n! (dla każdej pary zbiorów o tej samej liczbie elementów). Dla pustych zbiorów A = ∅ i B = ∅ istnieje jedna bijekcja—the empty function. Bijekcje są kluczowe w teorii zbiorów, ponieważ wyznaczają jednoznaczną „kopię” jednego zbioru w drugi i ustalają ich równość kardynalna.