Bijekcja

Bijekcja to funkcja f: A → B, która jest jednocześnie iniekcją i surjekcją. Innymi słowy, różne elementy A mają różne obrazy, a każdy element B ma w A dokładnie jednego preimage’a. Dzięki temu f ma odwrotność f^{-1}: B → A, która odwzorowanie odwraca.

Własności: bijekcja jest funkcją odwzorowującą między dwoma zbiorami w taki sposób, że każdy element B ma dokładnie jednego poprzednika w A. Skutkiem jest równość kardynalności zbiorów A i B. Składanie bijekcji jest także bijekcją: jeśli f: A → B i g: B → C są bijekcjami, to g ∘ f: A → C jest bijekcją.

Przykłady: f: {1,2,3} → {a,b,c} zdefiniowana przez f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c jest bijekcją. Funkcja f(x)=x+1 na zbiorze całkowitych Z ma odwrotność f^{-1}(y)=y-1 i jest bijekcją z Z na Z. W kontekście liczb naturalnych i parzystych: f(n)=2n to bijekcja między N a zbiorem parzystych; jej odwrotność to f^{-1}(m)=m/2.

Uwagi dotyczące liczności: dla zbiorów skończonych A i B o tej samej liczbie elementów istnieje bijekcja między nimi; liczba takich bijekcji wynosi n! dla zbiorów o rozmiarze n. W teorii kardynalności bijekcje służą do porównywania wielkości zbiorów, zarówno w przypadku zbiorów skończonych, jak i nieskończonych.

W topologii bijekcja nie musi być homeomorfizmem; aby funkcja była homeomorfizmem, musi być ciągła i mieć ciągłą odwrotność.