topologii

Topologiile reprezintă ramuri ale matematicii care studiază proprietăți ale spațiilor care rămân neschimbate sub transformări continue, adică relații de apropiere, limită și continuitate, fără a ține cont de o metrică sau de măsurători exacte. Un spațiu topologic este un cuplu (X, τ), unde X este o mulțime iar τ este o familie de submulțimi ale lui X numite mulțimi deschise, satisfăcând: ∅ și X ∈ τ, reuniile oricărui număr de mulțimi din τ sunt în τ, iar intersecția finită de mulțimi din τ este în τ.

Concepte fundamentale includ continuitatea, convergența, conectivitatea și compactitatea, formulate în termeni de deschise. O funcție f între spații topologice este continuă dacă preimagele deschise din spațiul țintă sunt deschise în spațiul sursă. Spațiile metrici induc topologii: dacă X are o metrică d, atunci deschisele pot fi definite prin bilele deschise. Exemple importante sunt topologia euclideană pe R, topologia discreta (unde orice mulțime este deschisă) și topologia trivială (numai ∅ și X sunt deschise).

Topologiile sunt studiate în mai multe ramuri: topologia generală, care formalizează noțiunile de bază fără metrică; topologia algebrică, care utilizează invarianti precum grupul fundamental; topologia diferențială, pentru spații numite varietăți; și topologia geometrică. Câteva aplicații apar în informatică, fizică teoretică și științe ale datelor, unde structurile topologice ajută la înțelegerea formei și conectivității obiectelor.

Istoric, termenul de topologie a fost introdus în timpul secolului al XIX-lea de J. B. Listing, iar dezvoltarea sistematică a topologiilor a fost avansată de Hausdorff prin lucrări precum Grundzüge der Topologie (1914). De atunci, topologiile au devenit fundamentale în multe domenii ale matematicii.