Topologiile

Topologiile reprezintă studiul structurii spațiilor și al deschiderii lor în sens abstract. O topologie pe o mulțime X este o colecție T de submulțimi ale lui X, numite deschise, care satisface trei condiții: ∅ și X apar în T; reuniunea oricărei familii de mulțimi din T aparține lui T; intersecția finită a mulțimilor din T aparține lui T. Cu această colecție, perechea (X, T) se numește spațiu topologic.

Exemple clasice includ topologia discretă, în care toate submulțimile lui X sunt deschise; topologia indiscretă (trivială), în care singurele mulțimi deschise sunt ∅ și X; topologia standard pe R, generată de intervale deschise; topologia subspațiului, definită pe o submulțime A ⊆ X prin deschisele intersecții cu A.

Concepte fundamentale includ continuitatea, convergența și homeomorfismele. O funcție f: X → Y între spații topologice este continuă dacă preimaginea fiecărei mulțimi deschise din Y este deschisă în X. Două spații sunt homeomorfe dacă există o biiețare între ele care să păstreze deschisele, adică să fie inversă continuă. În general, există și bazele deschiselor, topologia produsului și, în cazul spațiilor care provin dintr-o metrică, metrizabilitatea.

Proprietăți și clasificări includ: spațiile pot fi T0, T1 sau Hausdorff (T2); compactitate și conectivitate; axiomele de separabilitate sau de număr (primul și al doilea); spațiile metrizabile ocupă un loc central în studiul practic. Teoremele notabile includ Heine-Borel în R^n ca caracterizare a compactității în context euclidian.

Topologiile furnizează cadrul unificator pentru analiză, geometrică și teatru al funcțiilor, având aplicatii în matematică pură și aplicată, știința datelor și teoria spațiilor. Istoric, ideea de topologie s-a cristalizat în secolele XIX–XX prin contribuțiile lui Cantor, Hausdorff și Fréchet.