separabilitate

Separabilitatea este o noțiune matematică folosită în mai multe ramuri, având sensuri specifice în funcție de context.

În topologie, o mulțime X este separabilă dacă există un subset D numărabil și dens în X, adică închiderea lui D în X este întreaga X. Exemplu: R cu topologia obișnuită este separabilă, deoarece Q este dens în R. Subspațiile unui spațiu separabil sunt, de asemenea, separabile. Produsul numărabil de spații separabile este separabil; în schimb, produsul cu index nelistat poate să nu fie separabil.

În teoria câmpurilor, un polinom f în F[x] este separabil dacă nu are rădăcini repetate în închiderea sa algebrică; echivalent cu faptul că f și derivata sa au cel mai mare comun divizor 1. O extensie E/F este separabilă dacă orice element al lui E este rădăcina unui polinom separabil față de F; în particular, dacă caracteristica lui F este 0, sau dacă F este un câmp perfect, atunci orice extensie algebrică este separabilă. Exemplu: Q ⊂ Q(√2) este separabilă. În caracteristica p > 0 există extensii inseparabile (pur inseparabile), cum ar fi F_p(t) ⊂ F_p(t^{1/p}).

Acest concept apare și în geometria algebrică, sub forma morfismelor separabile, deși descrierea este tehnică.

Vezi: spații separabile, polinoame separabile, extensii separabile.