homeomorfismele

Homeomorfismele reprezintă o clasă de biyections între spații topologice care păstrează structura topologică. O funcție f: X → Y între spații topologice este o homeomorfism dacă este bijectivă, continuă și inversa sa f^{-1}: Y → X este continuă. Două spații X și Y sunt homeomorfe dacă există o homeomorfism între ele; în acest caz ele au aceeași structură topologică, iar proprietățile definite prin deschideri și vecinătăți se păstrează prin f.

Caracteristici și implicații: homeomorfismele păstrează conectivitatea, compactitatea și numărul de componente, precum și multe proprietăți locale și globale ale spațiilor. Ele „nu schimbă forma” din punct de vedere topologic: de exemplu, dacă X este compact, atunci și Y este compact; dacă X este o curbură sau o suprafață, aceste caracteristici se reflectă în structura lui Y. Invariantelor topologice importante, cum ar fi grupul fundamental sau dimensionarea topologică, le corespunde aceeași valoare în X și în Y când X și Y sunt homeomorfe.

Exemple: cercul S^1 este homeomorf cu orice curbă închisă simplu, iar un disc D^2 este homeomorf cu un pătrat; intervalul deschis (0,1) este homeomorf cu R. Între timp, [0,1] nu este homeomorf cu (0,1) deoarece [0,1] este compact, în timp ce (0,1) nu este.

Semnificație: studiul homeomorfismelor facilitează clasificarea spațiilor în funcție de „echivalența” lor topologică, un obiect central în topologie și în multe ramuri ale matematicii, inclusiv în studiul varietăților și al manifoldurilor. Vezi și: topologie, invarianti topologici, clasificare.