odwzorowanie

Odwzorowanie to pojęcie z matematyki odnoszące się do relacji między dwoma zbiorami X i Y, która każdemu elementowi x z X przypisuje dokładnie jeden element y z Y. W języku potocznym i w wielu tekstach odwzorowanie często utożsamia się z funkcją. Formalnie odwzorowanie f może być opisane jako mapa z X do Y, f: X → Y, która dla każdego x ∈ X wyznacza unikalny y ∈ Y.

W kontekście algebraicznym i informatycznym odwzorowanie oznacza również sposób przekształcenia obiektu lub danych według określonej reguły. W geometrii istnieje odrębne pojęcie odwzorowania geometrycznego, które przekształca figury lub punkty przestrzeni. Takie odwzorowania często zachowują pewne własności, na przykład odległości lub równoległości.

Wśród odwzorowań wyróżniamy różne właściwości. Odwzorowanie może być różnowartościowe (iniektywne), gdy różne elementy dziedziny trafiają w różne elementy przeciwdziedziny; surjektywne (na), gdy każdy element przeciwdziedziny ma swojego poprzednika; oraz bijektywne, gdy jest zarówno iniektywne, jak i surjektywne. W praktyce w matematyce często rozróżnia się także odwzorowania liniowe (przekształcenia liniowe w algebrze liniowej) i odwzorowania geometryczne, takie jak odbicia, obroty, translacje, a także afiniczne i podobieństwa.

Przykłady: f(x) = x^2 z R do R nie jest iniektywne, ale jest odwzorowaniem funkcjonalnym; odwzorowanie odbicia względem osiY to geometyczne odwzorowanie, które przekształca punkt (x,y) w (-x,y). W algebrze liniowym każda macierzowa transformacja V → V jest odwzorowaniem liniowym. Odwzorowania stanowią podstawę definicji funkcji, przekształceń i struktur w wielu dziedzinach matematyki.