odwzorowania

Odwzorowanie (ang. mapping, transformation) to pojęcie używane w matematyce na określenie relacji między dwoma zbiorami, która przypisuje każdemu elementowi pierwszego zbioru dokładnie jeden element drugiego. W praktyce najczęściej mówimy o odwzorowaniach f: A → B, czyli funkcjach z A do B. Odwzorowanie może być rozumiane także w kontekście struktur algebraicznych lub geometrycznych, gdzie zachowanie określonych własności bywa kluczowe.

Podstawowe własności odwzorowań. Odwzorowanie może być niesłusznie nazywane funkcją; wśród najważniejszych własności wyróżnia się iniekcję (każdemu elementowi A odpowiada unikalny element w B), surjekcję (każdy element B ma przynajmniej jeden obraz z A) i bijekcję (połączenie obu właściwości). Dla bijekcji istnieje odwrotne odwzorowanie f^{-1}: B → A, które odtwarza pierwotne elementy. W kontekście struktur algebraicznych odwzorowania często muszą także zachowywać operacje, co prowadzi do pojęć takich jak homomorfizm, izomorfizm i inne typy odwzorowań zależnych od narracji dziedziny.

Odwzorowania w geometrii. W geometrii mówimy o odwzorowaniach geometrycznych, czyli przekształceniach mapujących figury na inne figury w sposób często przestrzegający konkretnej cechy, jak odległości (odwzorowania izometryczne), proporcje (podobieństwa), lub równoważność struktur (przekształcenia afiniczne i projektowe). Reprezentacja odwzorowań liniowych w przestrzeniach wektorowych realizowana jest często za pomocą macierzy.

Zastosowania. Odwzorowania stanowią podstawę teorii funkcji, analizy, algebry, geometrii, grafiki komputerowej i informatyki, gdzie służą do modelowania zależności między obiektami, przekształceń danych, przetwarzania obrazów oraz interpretacji struktur matematycznych.