liniowej

Liniowa, od przymiotnika liniowy, odnosi się do cech i obiektów charakteryzujących się liniowością — zasadą dodawania i jednorodności skalarnej. W matematyce i naukach przyrodniczych terminy te odnoszą się do funkcji, transformacji, równań i struktur, które przestrzegają reguł liniowych.

Funkcja liniowa. W sensie ścisłym f: V → W jest liniowa, jeśli dla wszystkich u, v w V i skalarów α, β zachowuje f(u+v) = f(u) + f(v) i f(αu) = αf(u). Przykład: f(x) = kx na polu liczb rzeczywistych. W potocznym użyciu czasem używa się terminu funkcja liniowa także dla funkcji afinicznej postaci f(x) = kx + b, co nie jest technicznie liniowe w sensie algebry liniowej.

Równania liniowe. Równanie liniowe jednej zmiennej ma postać ax + b = 0 z a ≠ 0; rozwiązuje się przez x = −b/a. Równania liniowe wielu zmiennych tworzą układy, które można zapisać w postaci A x = b. Rozwiązania stanowią podprzestrzeń, jeśli b = 0; w przeciwnym razie mają postać konkretnego wektora plus podprzestrzeń.

Transformacje liniowe. Transformacja T między przestrzeniami wektorowymi zachowuje dodawanie i skalowanie, T(u+v) = T(u) + T(v), T(αu) = αT(u). Reprezentuje się je macierzowo; ich właściwości obejmują jądro i obraz, determinantę i stabilność geometryczną.

Zastosowania. Pojęcie liniowości jest fundamentem analizy danych, grafiki komputerowej, modelowania fizycznego i ekonomicznego, systemów sterowania i optymalizacji. Dzięki niej skomplikowane zależności bywają aproksymowane przez modele liniowe.