basissequentie

Een basissequentie, ook wel Schauder-basis genoemd in veel Nederlandse teksten, is een rij (x_n) in een topologische vectorruimte X waarmee elk element x ∈ X op unieke wijze kan worden geschreven als een convergente oneindige lineaire combinatie x = sum_{n=1}^∞ a_n x_n. De convergentie vindt plaats in de gegeven topologie of norm van X. In veel toepassingen wordt X gekozen als een Banachruimte (volledige normruimte).

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer de uniciteit van de coëfficiënten (a_n) en de uitslag dat elke x uit X kan worden uitgedrukt door middel van de getenda puuil: de部分som S_N x = sum_{n=1}^N a_n x_n convergeert naar x wanneer N naar ∞. Een basissequentie impliceert vaak aanvullende structurele eigenschappen, zoals de continuïteit van de deelprojecties P_N:x ↦ S_N x, hoewel dit afhankelijk kan zijn van de specifieke ruimte en basis.

Een basissequentie is niet hetzelfde als een Hamel-basis. Een Hamel-basis (algemeen lineair onafhankelijk met representaties als eindige combinaties) werkt in de algebraïsche zin, terwijl een basissequentie meestal in een topologische (bijv. normende) setting vereist dat representaties uitdrukkingen als oneindige convergente sommen betreffen.

Voorbeelden zijn onder andere de standaardbasis in R^n (een basissequentie in elke dimensie) en de standaard eenheidsvectoren e_n in l^p of c_0, die een Schauder-basis vormen. Een orthonormale B-basis in L^2([0,1]) levert eveneens een basissequentie via de Fourier-expansie. Basissequenties zijn fundamenteel voor representaties en analyse in functionele ruimtes.