antiderivaat

Een antiderivaat van een functie f is een functie F zodanig dat F'(x) = f(x) voor alle x in het domein van f. Antiderivaten worden ook wel onbepaalde integralen genoemd. De antiderivaat is echter niet uniek: als F een antiderivaat is van f, dan is F(x) + C ook een antiderivaat voor elke constante C. De constante C wordt het integraalconstante genoemd.

Notatie en betekenis: ∫ f(x) dx geeft de verzameling van alle antiderivaten van f; in praktische berekeningen werkt men vaak met één specifieke antiderivaat door een geschikte waarde voor C te kiezen. De relatie tussen differentiatie en integratie wordt vastgelegd door de fundamentale stelling van de calculus: als f continu is op een interval, dan bestaat een antiderivaat F met F' = f, en ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Voorbeelden: de antiderivaat van x^2 is x^3/3 + C; van cos(x) is sin(x) + C; van e^x is e^x + C; de antiderivaat van een constante k is kx + C.

Eigenschappen: lineariteit geldt voor antiderivativen: als F1' = f1 en F2' = f2, dan geldt voor elke scalair a en b dat (aF1 + bF2)' = a f1 + b f2. Sommige functies hebben geen elementaire (uitdrukkelijke) antiderivaat; wat betreft bestaan: voor continue f op een interval bestaat altijd een antiderivaat, maar de exacte vorm kan niet in elementaire functies liggen.

Toepassingen: berekenen van gebieden onder krommen, accumulatie van hoeveelheden en het oplossen van differentiaalvergelijkingen.