antiderivativen

Antiderivate, singular das Antiderivat, sind Funktionen F, deren Ableitung F'(x) die gegebene Funktion f(x) ergibt. Die Antiderivate von f bilden eine Familie der Form F(x) + C, wobei C eine Konstante ist. Der Vorgang des Findens einer Antiderivat heißt Integration; das unbestimmte Integral wird oft mit ∫ f(x) dx notiert und bedeutet F(x) + C.

Der Zusammenhang zwischen Antiderivat und Stammfunktion wird durch den Fundamentalsatz der Analysis hergestellt. Wenn f stetig auf einem Intervall I ist, besitzt f eine Antiderivat F auf I; außerdem gilt ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Umgekehrt ist die Ableitung von F gleich f. Diese Verbindung ermöglicht es, Flächeninhalte durch Antiderivation zu berechnen und Funktionen durch Integration zu definieren.

Beispiele: Für f(x) = 2x ist ein Antiderivat F(x) = x^2 + C. Für f(x) = sin(x) ist ein Antiderivat F(x) = −cos(x) + C. Ein weiteres Beispiel: f(x) = e^x hat als Antiderivat F(x) = e^x + C.

Begrenzungen: Nicht jede Funktion hat eine Antiderivat in Form einer Elementarfunktion. So lässt sich ∫ e^(-x^2) dx nicht durch einfache Ausdrücke darstellen; stattdessen erscheinen spezielle Funktionen (z. B. die Fehlerfunktion erf) oder numerische Verfahren. Antiderivate sind grundlegend für die Bestimmung von Flächen, die Lösung von Differentialgleichungen und in der Wahrscheinlichkeitstheorie.