ZFCaksiomien

ZFC-Axiomen bezeichnen die Axiomsysteme der Zermelo-Fraenkel-Selbsttheorie mit dem Auswahlaxiom. ZFC ist die standardmäßige Grundlage der modernen Mathematik und dient als formale Basis für die meisten mathematischen Theorien. Die Theorie wird in der ersten Ordnungslogik formuliert, wobei die Zugehörigkeitseigenschaft ∈ die zentrale Beziehung zwischen Mengen beschreibt.

Zu den wichtigsten Axiomen gehören Extensionalität, Regularität (Foundation), Paarbildung, Vereinigung, Potenzmenge, Unendlichkeit, Ersetzung und Trennung sowie das Auswahlaxiom. Extensionalität besagt, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Regularität verhindert Zyklen in der Membership-Beziehung. Paarbildung garantiert, dass aus zwei Mengen eine Menge {a, b} existiert. Vereinigung sorgt dafür, dass aus einer Menge von Mengen deren Vereinigung existiert. Potenzmenge sichert die Existenz der Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge. Unendlichkeit garantiert die Existenz einer unendlichen Menge, typischerweise ω. Ersetzung ist ein Schema, das sicherstellt, dass die Abbildung definierter Funktionen das Bild einer Menge bildet. Trennung ist ein Schema, das erlaubt, Teilmengen durch eine Formel aus einer vorhandenen Menge zu bilden. Das Auswahlaxiom besagt, dass aus jeder Familie nichtleerer Mengen eine Wahlfunktion existiert; äquivalent dazu sind der Wellordering-Satz und verwandte Aussagen.

Ersatz- und Trennungsaxiome werden als Schemata formuliert, d. h. sie liefern für jede passende Formel bzw. jedes Parameterobjekt unendlich viele Instanzen. ZFC dient als Standardgrundlage der Mathematik; viele mathematische Begriffe und Beweise lassen sich innerhalb dieses Systems formal darstellen. In der Logik der unendlichen Axiomschemata ist die Theorie robust, doch einige Aussagen sind unabhängig von ZFC: Das Auswahlaxiom ist von ZF unabhängig; Gödel zeigte, dass ZF + AC aus der Konsistenz von ZF folgt, während Cohen später zeigte, dass AC nicht aus ZF beweisbar ist.