Wortelruimte

Wortelruimte is een concept uit de Lie-theorie dat de structuur van een Lie-algebra g beschrijft ten opzichte van een Cartan-subalgebra h. Voor ieder α in de dualruimte h definieert men de wortelruimte g_α als { x ∈ g | [h, x] = α(h) x voor alle h ∈ h }. De verzameling van niet-nul α waarvoor g_α ≠ 0 wordt de wortelverzameling genoemd.

De Lie-algebra g kan onder deze omstandigheden worden opgesplitst als een directe som: g = h ⊕ ⊕_{α ∈ R} g_α, waarbij R = { α ∈ h | g_α ≠ 0 }. De subruimtes g_α zijn de eigenruimtes van de adjungerende actie van h, met [h, x] = α(h) x voor alle h ∈ h.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat [g_α, g_β] ⊆ g_{α+β}; als α+β geen wortel is, dan is [g_α, g_β] = 0. In een semisimple Lie-algebra over een algebraisch gesloten veld van karakteristiek nul zijn de wortelruimtes doorgaans 1-dimensionaal; de wortelruimte zelf vormt samen met h de wortelstructuur van g.

Voorbeeld: neem g = sl_2(C) met de Cartan-subalgebra h = span(H). Dan zijn g_α = span(E), g_-α = span(F) en g_0 = h, met [H,E] = 2E, [H,F] = -2F, [E,F] = H. De wortels zijn ±α in deze setting.

Betekenis: wortelruimtes leveren de wortelverzameling en het wortelstelsel dat cruciaal is voor de classificatie van semisimple Lie-algebras en hun representaties, en bepalen de symmetrieën via de Weyl-groep.