Wahrscheinlichkeitsmasse

Wahrscheinlichkeitsmasse, im Deutschen auch Wahrscheinlichkeitsmass oder Wahrscheinlichkeitsmassfunktion genannt, bezeichnet die Funktion, die einer diskreten Zufallsvariablen X jeden möglichen Wert x in ihrer Ergebnismenge die Wahrscheinlichkeit P(X = x) zuordnet. Die Masse p(x) erfüllt p(x) ≥ 0 für alle x und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Werte ist gleich eins. Sind nur endlich oder abzählbar unendliche Werte zulässig, gilt P(X ∈ S) = sum_{x∈S} p(x) für jede Teilmenge S der Ergebnismenge. Für Werte außerhalb der Unterstützungsmenge S setzt man p(x) = 0.

Aus der Wahrscheinlichkeitsmasse lassen sich weitere Verteilungsgrößen ableiten: Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) ergibt sich als Summe aller p(t) mit t ≤ x. Der Erwartungswert E[X] berechnet sich als E[X] = sum_x x p(x], sofern die Summe konvergiert, und Varianz als Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2. Bei endlicher oder abzählbar unendlicher Unterstützung erleichtern sich Berechnungen durch direkte Summation.

Beispiele gängiger Wahrscheinlichkeitsmassen: Bernoulli(p) mit p(1) = p und p(0) = 1−p; Binomial(n, p) mit p(k) = binom(n,k) p^k (1−p)^{n−k} für k = 0,...,n; Poisson(λ) mit p(k) = e^{−λ} λ^k / k! für k ≥ 0. Solche PMFs definieren diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Beziehung zu anderen Konzepten: Eine Wahrscheinlichkeitsmasse definiert eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit ein diskretes Maß μ auf den reellen Zahlen, wobei μ({x}) = p(x). Im Gegensatz dazu beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion D bei stetigen Variablen D mit Respekt auf das Lebesgue-Maß.