Wahrscheinlichkeitsbegriffen

Wahrscheinlichkeitsbegriffe bezeichnet die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie, die zur mathematischen Beschreibung zufälliger Phänomene dienen. Zentral ist die Ergebnismenge Ω, aus der Ereignisse A⊆Ω abgeleitet werden. Die Wahrscheinlichkeit P misst die Zuverlässigkeit, mit der ein Ereignis eintritt, und erfüllt die Kolmogorov-Axiome: P(Ω)=1, 0 ≤ P(A) ≤ 1 für alle A, und die Additivität P(∪i Ai) = Σi P(Ai) für disjunkte Ereignisse. Daraus folgen weitere Grundregeln wie die Monotonie und die Komplementregel.

Ereignisse sind Teilmengen von Ω; sie können einfache Ereignisse (z. B. das Würfelergebnis 5) oder zusammengesetzte Ereignisse (z. B. eine gerade Zahl) sein. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist, und die Unabhängigkeit zweier Ereignisse bedeutet, dass P(A∩B) = P(A)P(B).

Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω in Ω eine reale Zahl zu. Diskrete Zufallsvariablen nehmen abzählbare Werte an; stetige Zufallsvariablen haben kontinuierliche Wertebereiche. Verteilungen charakterisieren das Verhalten einer Zufallsvariable durch Verteilungsfunktionen F_X(x) und, falls vorhanden, Wahrscheinlichkeitsdichten f_X(x). Wichtige Kenngrößen sind Erwartungswert E[X] und Varianz Var[X], die zentrale Tendenz bzw. Streuung beschreiben.

Zu den verbreiteten Verteilungen gehören diskrete Modelle wie Binomial- und Poissonverteilungen sowie stetige Modelle wie Normal-, Gleichverteilungs- und Exponentialverteilungen. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe unabhängiger, exakt normalisierbarer Zufallsgrößen unter bestimmten Bedingungen gegen eine Normalverteilung konvergiert. Anwendungsbereiche liegen in Statistik, Risikobewertung, Entscheidungsfindung und Modellierung von Unsicherheit.