Gleichverteilungs

Gleichverteilung, auch Gleichverteilungen im Plural, ist eine Bezeichnung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Verteilungen, bei denen alle zulässigen Ausprägungen gleichermaßen wahrscheinlich sind. In der Regel spricht man von einer Gleichverteilung, wenn die Zufallsvariable in einem definierten Intervall oder einer endlichen Menge gleich wahrscheinlich ist. Die Gleichverteilung wird in zwei Hauptformen unterschieden: die kontinuierliche Gleichverteilung, die das Intervall [a, b] umfasst, und die diskrete Gleichverteilung auf einer endlichen Menge.

Bei einer kontinuierlichen Gleichverteilung X ~ U(a, b) gilt die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = 1/(b−a) für x im Intervall [a, b] und f(x) = 0 außerhalb. Die Verteilungsfunktion ist F(x) = (x−a)/(b−a) für x in [a, b]. Erwartungswert E[X] = (a+b)/2 und Varianz Var(X) = (b−a)^2/12. Die Standardabweichung beträgt (b−a)/√12. Die Gleichverteilung ist eine der grundlegendsten kontinuierlichen Verteilungen und dient oft als einfache Referenzverteilung.

Bei einer diskreten Gleichverteilung X ∈ {a, a+1, ..., b} gilt P(X = k) = 1/n mit n = b−a+1. Der Erwartungswert ist E[X] = (a+b)/2 und die Varianz Var(X) = (n^2 − 1)/12. In der gängigsten Spezialform X ∈ {1, 2, ..., n} gilt E[X] = (n+1)/2 und Var(X) = (n^2 − 1)/12.

Eigenschaften: Die Gleichverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert, besitzt eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Intervall bzw. die endliche Menge und ist der einfachste Fall einer Verteilung mit maximaler Entropie auf dem definierten Bereich. Sie bleibt bei Transformationen durch Skalierung bzw. Verschiebung sinnvoll einsetzbar.

Anwendungen: Sie wird häufig zur Zufallsgenerierung in Monte-Carlo-Simulationen, beim Bootstrapping, in der Spieltheorie, bei Hashfunktionen und in Qualitätskontrollen verwendet, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein sollen. Die Summe mehrerer unabhängiger Gleichverteilungen führt zur Irwin-Hall-Verteilung; mit zunehmender Zahl nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an.