Gleichverteilungen

Gleichverteilungen, auch Uniformverteilungen genannt, bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Verteilungen, bei denen alle Ausprägungen eines festgelegten Wertebereichs gleich wahrscheinlich sind. Man unterscheidet stetige und diskrete Gleichverteilungen.

Stetige Gleichverteilung U(a,b): X hat die Dichte f(x) = 1/(b-a) für a ≤ x ≤ b und f(x) = 0 sonst. Die Verteilungsfunktion F(x) = (x-a)/(b-a) für a ≤ x ≤ b, 0 für x < a, 1 für x > b. Wichtige Momente: Erwartungswert E[X] = (a+b)/2 und Varianz Var(X) = (b-a)^2/12. Zur Generierung aus einer Zufallszahl U ~ U(0,1) gilt X = a + (b-a)U. Die stetige Gleichverteilung besitzt keine Gedächtnisloseigenschaft und ist symmetrisch um den Mittelpunkt (a+b)/2.

Diskrete Gleichverteilung X ∈ {k, k+1, ..., l} mit n = l-k+1 Ausprägungen und jeder Wahrscheinlichkeit 1/n. Erwartungswert E[X] = (k+l)/2, Varianz Var(X) = (n^2-1)/12 = ((l-k+1)^2 - 1)/12. Die Verteilungsfunktion ist eine Treppenfunktion, die bei jeder Zunahme eines Wertes einen Sprung macht. Generierung erfolgt durch eine gleichverteilte Ganzzahl aus dem Intervall {k,...,l}.

Anwendungen und Eigenschaften: Gleichverteilungen modellieren Unwissenheit über die genauere Verteilung in einem endlichen Intervall und bilden die Basis für viele Monte-Carlo-Simulationen sowie Zufallszahlengeneratoren. Die Uniformverteilung hat maximale Entropie unter der Bedingung einer bekannten Bandbreite. Typische Beispiele sind das Werfen eines fairen Würfels (diskrete Gleichverteilung auf {1,...,6}) oder das Ziehen einer Karte aus einem gut gemischten Kartenspiel.