Komplementregel

Die Komplementregel ist eine grundlegende Regel der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie besagt, dass für jedes Ereignis A in dem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitraum der Komplement von A, bezeichnet als A^c (die Menge der Ergebnisse, die nicht zu A gehören), die Wahrscheinlichkeit 1 minus P(A) hat: P(A^c) = 1 - P(A).

Begründung: In einem Wahrscheinlichkeitraum gilt P(Omega) = 1. Da Omega = A ∪ A^c und A und A^c disjunkt sind, folgt P(Omega) = P(A) + P(A^c) und damit P(A^c) = 1 - P(A).

Anwendung: Die Regel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, wenn P(A) bekannt ist. Sie ist unabhängig von der konkreten Ausprägung des Ereignisses und gilt allgemein, solange A in der σ-Algebra F liegt und P(Omega) = 1 gilt.

Beispiel: Bei einem fairen Münzwurf sei A = Kopf. Dann gilt P(A) = 1/2 und P(A^c) = 1/2, da das Gegenereignis Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit hat.

Hinweis: Die Komplementregel lässt sich zusammen mit anderen Grundsätzen der Wahrscheinlichkeit (etwa der Addition von Wahrscheinlichkeiten für sich ausschließende Ereignisse) verwenden, um komplexe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.